数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 多変数の関数 - グラフと等位線 - 極座標に変換、三角関数(正弦と余弦)、加法定理、倍角

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第19章(多変数の関数)、1(グラフと等位線)の練習問題13の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{4 x y (x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = c \\ 4 x y (x^{2} - y^{2}) = c (x^{2} + y^{2}) \end{array}$

極座標に変換して考える。

$\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{array}$

とおくと、

$\begin{array}{l} 4 r^{2} \cos θ \sin θ (r^{2} \cos^{2} θ - r^{2} \sin^{2} θ) = c (r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ) \\ 4 r^{2} \cos θ \sin θ (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) = c \\ 4 r^{2} \frac{\sin 2 θ}{2} \cos^{2} θ = c \\ 2 r^{2} \sin 2 θ \cos 2 θ = c \\ r^{2} \sin 4 θ = c \end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot, solve, Rational
from sympy.plotting import plot3d

print('13.')

x, y, c = symbols('x, y, c', real=True)
eq = 4 * x * y * (x ** 2 - y ** 2) / (x ** 2 + y ** 2)
p = plot3d(eq, show=False)

p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.save('sample13.png')

ys = solve(eq - c, y)

for i, c0 in enumerate([-10, -2, -1, -Rational(1, 2), Rational(1, 2), 1, 2, 10]):
    p = plot(*[f.subs({c: c0})
               for f in ys],
             (x, -10, 10),
             ylim=(-10, 10),
             legend=True,
             show=False)
    colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
              'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

    for o, color in zip(p, colors):
        o.line_color = color
    p.save(f'sample13_{i}.png')
    p.show()