2020年3月10日火曜日


解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、2(曲線の長さ)の練習問題5の解答を求めてみる。



    1. X ' t = 1 , 1 t ∫ 1 + 1 t 2 dt = ∫ 1 + t 2 t 2 dt = ∫ 1 + t 2 t dt u 2 = 1 + t 2 2 u · d u dt = 2 t dt = u t d u ∫ u t · u t d u = ∫ u 2 u 2 - 1 d u = ∫ u 2 - 1 + 1 u 2 - 1 d u = ∫ 1 + 1 u 2 - 1 d u = ∫ d u + ∫ 1 u + 1 u - 1 d u = u + 1 2 ∫ 1 u - 1 - 1 u + 1 d u = u + 1 2 log u - 1 - log u + 1 = u + 1 2 log u - 1 u + 1

      よって、

      ∫ 1 2 1 + 1 t 2 dt = u + 1 2 log u - 1 u + 1 2 5 = 5 - 2 + 1 2 log 5 - 1 5 + 1 · 2 + 1 2 - 1

    2. ∫ 3 5 1 + 1 t 2 dt = u + 1 2 log u - 1 u + 1 10 26 = 26 - 10 + 1 2 log 26 - 1 26 + 1 · 10 + 1 10 - 1

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Integral, Derivative, log, sqrt
from sympy.plotting import plot_parametric

print('5.')

t, u = symbols('t, u', real=True)
x = t
x1 = Derivative(x, t, 1).doit()
y = log(t)
y1 = Derivative(y, t, 1).doit()
f = u + log((u - 1) / (u + 1)) / 2


class MyTestCase(TestCase):
    def test_a(self):
        self.assertEqual(
            float(Integral(sqrt(x1 ** 2 + y1 ** 2), (t, 1, 2)).doit()),
            float(f.subs({u: sqrt(5)}) - f.subs({u: sqrt(2)})))

    def test_b(self):
        self.assertEqual(
            float(Integral(sqrt(x1 ** 2 + y1 ** 2), (t, 3, 5)).doit()),
            float(f.subs({u: sqrt(26)}) - f.subs({u: sqrt(10)})))


colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

p = plot_parametric(*[(x, y, (t, t1, t2))
                      for t1, t2 in [(0.1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 10)]],
                    legend=False,
                    show=False)

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.show()
p.save('sample5.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py -v
5.
test_a (__main__.MyTestCase) ... ok
test_b (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 4.456s

OK
%
時刻: 13:00 ラベル: , , , ,

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