数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 曲線、接線、z軸となす角、内積、ノルム、余弦

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題21の解答を求めてみる。

21. 
    
    $\begin{array}{l}X\left(t\right)=\left(a\left(\cos t\right),a\left(\sin t\right),bt\right)\\ X\text{'}\left(t\right)=\left(-a\left(\sin t\right),a\left(\cos t\right),b\right)\end{array}$

    よって、 曲線上の点 t における接線の向き は

    $\left(-a\left(\sin t\right),a\left(\cos t\right),b\right)$

    また z 軸の 向きは

    $\left(0,0,1\right)$

    よって、 接線と z 軸とのなす角の余弦は

    $\begin{array}{l}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\\ =\frac{\left(-a\left(\sin t\right),a\left(\cos t\right),b\right)·\left(0,0,1\right)}{∥-a\left(\sin t\right),a\left(\cos t\right),b∥∥\left(0,0,1\right)∥}\\ =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, Derivative, sin, cos
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

print('21.')

a = 2
b = 3
t = symbols('t')
x = Matrix([a * cos(t), a * sin(t), b * t])
x1 = Derivative(x, t, 1).doit()
ts = [-2, 3]
ls = [x.subs({t: t0}) + t * x1.subs({t: t0}) for t0 in [-2, 3]]
z = Matrix([0, 0, 1])


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(x1, Matrix([-a * sin(t), a * cos(t), b]))


p = plot3d_parametric_line(*[(*s, (t, -20, 20)) for s in [x] + ls],
                           legend=True,
                           show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample21.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample21.py -v
21.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
%