数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 3次元空間、球体、球面、交点の個数、方程式の解、内積、ノルム

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題4の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} |x - a| \\ = |(x - \frac{a + b}{2}) - (a - \frac{a + b}{2})| \\ = |(x - \frac{a + b}{2}) - \frac{a - b}{2}| \\ |x - b| \\ = |(x - \frac{a + b}{2}) - (b - \frac{a + b}{2})| \\ = |(x - \frac{a + b}{2}) + \frac{a - b}{2}| \end{array}$
  
  ここで、
  
  $\begin{array}{l} x - \frac{a + b}{2} = y = (y_{1}, \dots, y_{a}) \\ \frac{a - b}{2} = c = (c_{1}, \dots, c_{n}) \end{array}$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} |x - a| = |y - c| \\ |x - b| = |y + c| \end{array}$
  
  よって、問題の方程式は、
  
  $|y - c| = |y + c| = r$
  
  この解を考えてみる。
  
  仮定の
  
  $2 r > d$
  
  より
  
  $\begin{array}{l} 2 r > |a - b| \\ r > |\frac{a - b}{2}| = |c| \end{array}$
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} |y - c| = |y + c| \\ {|y - c|}^{2} = {|y + c|}^{2} \\ (y - c) \cdot (y - c) = (y + c) \cdot (y + c) \\ - 2 y \cdot c = 2 y \cdot c \\ y \cdot c = 0 \\ c_{1} y_{1} + \dots + c_{n} y_{n} = 0 \\ |y - c| = r \\ {|y - c|}^{2} + {|y + c|}^{2} = 2 r^{2} \\ {|y|}^{2} + {|c|}^{2} = r^{2} \\ {|y|}^{2} = r^{2} - {|c|}^{2} \\ y_{1}^{2} + \dots + y_{n}^{2} = r^{2} - {|c|}^{2} > 0 \end{array}$
  
  問題の仮定より
  
  $n \geq 3$
  
  なので、 y、すなわち x は無限に存在する。
  
  （証明終）
2. $2 r = d$
  
  ならば、
  
  $\begin{array}{l} r = \frac{d}{2} = |c| \\ r^{2} - {|c|}^{2} = 0 \end{array}$
  
  よって、方程式の解は
  
  $\begin{array}{l} y = 0 \\ x = \frac{a + b}{2} \end{array}$
  
  で、ただ1つである。
  
  （証明終）
3. $\begin{array}{l} 2 r < d \\ r < |c| \\ r^{2} - {|c|}^{2} < 0 \end{array}$
  
  の場合、
  
  $y \cdot y = r^{2} - {|c|}^{2}$
  
  を満たす y、すなわち x は存在しない。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, sqrt, Rational from sympy.plotting import plot3d print('4.') x, y = symbols('x, y') for i, n in enumerate([Rational(1, 2), 1, 2]): p = plot3d(*[s2 * sqrt(-((x + s1 * n) ** 2 + y ** 2) + 1) for s1 in [-1, 1] for s2 in [-1, 1]], (x, -5, 5), (y, -5, 5), show=False) p.xlabel = x p.ylabel = y p.save(f'sample4_{i}.png') p.show()

Kamimura's blog

2020年3月22日日曜日

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