数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間 - 3次元空間、平面、原点から下ろした垂線の足の座標、法線ベクトル

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   求める垂線の足の座標を

   $\left(x_0,y_0,z_0\right)$

   とする。

   これは平面上の点なので、

   $a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0=k$

   また、平面の法線ベクトルは、

   $\left(a,b,c\right)$

   原点から下ろした垂線の足なので、垂線の向きは

   $\left(x_0,y_0,z_0\right)$

   これが法線ベクトルの実数倍なので、

   $\begin{array}{l}\left(x_0,y_0,z_0\right)=t\left(a,b,c\right)\\ x_0=ta\\ y_0=tb\\ z_0=tc\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}ata+btb+ctc=k\\ t=\frac{k}{a^2+b^2+c^2}\end{array}$

   ゆえに、求める原点から問題の平面に下ろした垂線の足の座標は、

   $\left(\frac{ak}{a^2+b^2+c^2},\frac{bk}{a^2+b^2+c^2},\frac{ck}{a^2+b^2+c^2}\right)$

   である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, Matrix
from sympy.plotting import plot3d, plot3d_parametric_line

print('3.')

x, y, z, a, b, c, k = symbols('x, y, z, a, b, c, k', real=True)
x0, y0, z0 = [k * t / (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) for t in [a, b, c]]


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        d = {s: t for s, t in zip([x, y, z], [x0, y0, z0])}
        self.assertEqual((a * x + b * y + c * z).subs(d).simplify(), k)

    def test2(self):
        t = symbols('t', real=True)
        ts = solve(t * Matrix([a, b, c]) - Matrix([x0, y0, z0]), t)
        self.assertEqual(len(ts), 1)


d = {a: 1, b: 2, c: 3, k: -1}
p = plot3d((k - (a + x + b * y) / c).subs(d), show=False)
u = symbols('u')
p.append(plot3d_parametric_line(*[o.subs(d) * u for o in [x0, y0, z0]],
                                (u, -100, 100),
                                legend=True,
                                show=False)[0])
p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.show()
p.save('sample10.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.343s

OK
%