数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 加法、スカラー倍、座標

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題6の解答を求めてみる。

加法に関して。

$\begin{array}{l} F (v + w) \\ = (f (v + w), g (v + w)) \\ = (f (v) + f (w), g (v) + g (w)) \\ = (f (v), g (w)) + (f (v), g (w)) \end{array}$

スカラー倍に関して。

$\begin{array}{l} F (c v) \\ = (f (c v), g (c v)) \\ = (c f (v), c g (v)) \\ = c (f (v), g (v)) \\ = c F (v) \end{array}$

よって、写像 F は線形写像である。

（証明終）

一般化。

$\begin{array}{l} f_{i} : V \to ℝ \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}$

が線形写像ならば、

$\begin{array}{l} f : V \to ℝ^{n} \\ f (v) = (f_{1} (v), \dots, f_{n} (v)) \end{array}$

は線形写像である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix
from sympy.plotting import plot_parametric


print('6.')

t, u, v, c = symbols('t, u, v, c')
# RからRへの線形写像
f = t
g = 2 * t
# RからR^2への写像
F = Matrix([f, g])


class MyTestCase(TestCase):
    def test_addition(self):
        self.assertEqual(F.subs({t: u + v}), F.subs({t: u}) + F.subs({t: v}))

    def test_scalar_mul(self):
        self.assertEqual(F.subs({t: c * v}), c * F.subs({t: v}))


p = plot_parametric(f, g,
                    legend=True,
                    show=False)

p.show()
p.save('sample6.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test_addition (__main__.MyTestCase) ... ok
test_scalar_mul (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.042s

OK
%

Kamimura's blog

2020年3月18日水曜日

数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 加法、スカラー倍、座標

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