数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像であるための必要条件、零ベクトルの像、零、線形写像の定義、加法、スカラー倍

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題8の解答を求めてみる。

1. 線形写像は8。
  
  実際に確認。
  
  $\begin{array}{l} f (0) \\ = (e^{0}, 0) \\ = (1, 0) \\ \neq (0, 0) \end{array}$
  
  よって線形ではない。
2. $f (O) = 2 \neq 0$
  
  よって線形ではない。
3. $\begin{array}{l} f ((x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2})) \\ = f (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) \\ = (2 (x_{1} + x_{2}), 3 (y_{1} + y_{2})) \\ = (2 x_{1} + 2 x_{2}, 3 y_{1} + 3 y_{2}) \\ = (2 x_{1}, 3 y_{1}) + (2 x_{2}, 3 y_{2}) \\ = f (x_{1}, y_{1}) + f (x_{2}, y_{2}) \\ f (c (x, y)) \\ = f (c x, c y) \\ = (2 c x, 3 c y) \\ = c (2 x, 3 y) \\ = c f (x, y) \end{array}$
  
  よって線形写像である。
4. $\begin{array}{l} f (z (x, y)) \\ = f (2 x, 2 y) \\ = (4 x y, 2 y) \\ = 2 (x y, y) + (2 x y, 0) \\ = 2 f (x, y) + (2 x y, 0) \end{array}$
  
  よって線形ではない。

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, Matrix, exp print('8.') t, x, y = symbols('t, x, y') xs = symbols('x:4') class MyTestCase(TestCase): def test4(self): self.assertNotEqual(Matrix([exp(t), t]).subs({t: 0}), Matrix([0, 0])) def test7(self): a = Matrix([1, 1, -1, 3]) self.assertNotEqual(Matrix(xs).subs({z: 0 for z in xs}).dot(a) + 2, 0) def test8(self): f = Matrix([2 * x, 3 * y]) x0, x1 = symbols('x:2') y0, y1 = symbols('y:2') c = symbols('c') self.assertEqual(f.subs({x: x0 + x1, y: y0 + y1}), f.subs({x: x0, y: y0}) + f.subs({x: x1, y: y1})) self.assertEqual(f.subs({x: c * x, y: c * y}), c * f) def test9(self): f = Matrix([x * y, y]) self.assertNotEqual(f.subs({x: 2 * x, y: 2 * y}), 2 * f) if __name__ == "__main__": main()

% ./sample8.py -v 8. test4 (__main__.MyTestCase) ... ok test7 (__main__.MyTestCase) ... ok test8 (__main__.MyTestCase) ... ok test9 (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 4 tests in 0.051s OK %

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2020年3月20日金曜日

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