数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - 複素の絶対値 - 共役複素数、積、等式の証明

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、複素の絶対値の問4の解答を求めてみる。

左辺の2乗について。

$\begin{array}{l} {|α - β|}^{2} \\ = (α - β) \bar{(α - β)} \\ = (α - β) (\bar{α} - \bar{β}) \\ = α \bar{α} - α \bar{β} - β \bar{α} + β \bar{β} \\ = {|α|}^{2} + {|β|}^{2} - α \bar{β} - β \bar{α} \end{array}$

右辺の2乗について。

$\begin{array}{l} {|1 - \bar{α} β|}^{2} \\ = (1 - \bar{α} β) \bar{(1 - \bar{α} β)} \\ = (1 - \bar{α} β) (1 - α \bar{β}) \\ = 1 - α \bar{β} - \bar{α} β + \bar{α} α β \bar{β} \\ = 1 + {|α|}^{2} {|β|}^{2} - α \bar{β} - β \bar{α} \end{array}$

場合分け。

$|α| = 1$

の場合、

$\begin{array}{l} {|α - β|}^{2} = 1 + {|β|}^{2} - α \bar{β} - β \bar{α} \\ {|1 - \bar{α} β|}^{2} = 1 + {|β|}^{2} - α \bar{β} - β \bar{α} \end{array}$

よって

$\begin{array}{l} {|α - β|}^{2} = {|1 - \bar{α} β|}^{2} \\ |α - β| = |1 - \bar{α} β| \end{array}$

ゆえに、問題の等式は成り立つ。

$|β| = 1$

の場合も同様。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, I, sin, cos

print('4.')

theta, a, b = symbols('theta, a, b', real=True)
alpha = cos(theta) + I * sin(theta)
beta = a + b * I


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        self.assertEqual(abs(alpha - beta).simplify(),
                         abs(1 - alpha.conjugate() * beta).simplify())

    def test2(self):
        self.assertEqual(abs(beta - alpha).simplify(),
                         abs(1 - beta.conjugate() * alpha).simplify())


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py -v
4.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.875s

OK
%

Kamimura's blog

2020年3月25日水曜日

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