数学 - Python - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 円とベクトル - 直角二等辺三角形、3辺の内分点、位置ベクトル、垂直、内積、零

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、円とベクトルの問39の解答を求めてみる。

39. 
    

    それぞれ直角二等辺三角形と1対 n に 内分する点であることから

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{1+n}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{AE}=\frac{n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{1+n}\\ \overrightarrow{AF}=\frac{n}{1+n}\overrightarrow{c}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{DF}\\ =\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}\\ =\frac{n}{1+n}\overrightarrow{c}-\frac{1}{1+n}\overrightarrow{b}\\ =\frac{-\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}}{1+n}\end{array}$

    また、 角 A が直角 な二等辺三角形なので、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=0\\ \left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{DF}\\ =\left(\frac{n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{1+n}\right)·\left(\frac{-\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}}{1+n}\right)\\ =\frac{1}{{\left(1+n\right)}^2}\left(-n\overrightarrow{b}·\overrightarrow{b}+n^2\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+n\overrightarrow{c}·\overrightarrow{c}\right)\\ =\frac{n}{{\left(1+n\right)}^2}\left(-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\right)\end{array}$

    ゆえに、この2つのベクトルは垂直である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix

print('39.')

l, n = symbols('l, n', real=True, positive=True)
a = Matrix([0, 0])
b = Matrix([l, 0])
c = Matrix([0, l])
d = b / (1 + n)
e = (n * b + c) / (1 + n)
f = n / (1 + n) * c


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        df = f - d
        self.assertEqual(e.dot(df), 0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample39.py -v
39.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
%