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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、円とベクトルの問40の解答を求めてみる。
点 P と基準点とする A、 B の位置ベクトルを
とする。
このとき、 点 C 、 D の 位置ベクトルはある負の数 m、n が存在して、
とおくことができる。
また、 点 M の位置ベクトルは、
問題の垂直であるという仮定より、
また、ベクトル CD は
よって、
また、 三角形 PAB と三角形 PDC は相似なので、
よって、
ゆえに辺 AB の中点 M と P を通る直線は CDに垂直である。
(証明終)
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