数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 直線の方程式 - 垂線の足の座標、法線ベクトル、向き

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、直線の方程式の問36の解答を求めてみる。

36. 
    

    直線の方線ベクトルは

    $\left(a,b\right)$

    点 H の位置ベクトルは

    $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{g}+k\left(a,b\right)$

    点 H は直線上の点.なので

    $\begin{array}{l}a{x}_1+b{y}_1+c=0\\ \left(a,b\right)·\left(x_1,y_1\right)+c=0\\ \left(a,b\right)·\overrightarrow{h}+c=0\\ \left(a,b\right)·\left(\overrightarrow{g}+k\left(a,b\right)\right)+c=0\\ k=-\frac{\left(a,b\right)·\overrightarrow{g}+c}{\left(a,b\right)·\left(a,b\right)}\\ =-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{h}=\overrightarrow{g}-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}\left(a,b\right)\\ x_1=x_0-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}a\\ x_2=y_0-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}b\end{array}$

    （証明終）