数学 - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 曲線、三角関数(正弦と余弦)、内積、指数関数、速さ、三角関数(正弦と余弦と正接)

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題23の解答を求めてみる。

23. 
    
    1. 
       

       問題の仮定より、

       $\begin{array}{l}X\text{'}\left(t\right)·B=2e^{2t}\\ \cos \theta \\ =\frac{X\text{'}\left(t\right)·B}{∥X\text{'}\left(t\right)∥∥B∥}\\ =\frac{2e^{2t}}{∥X\text{'}\left(t\right)∥}\end{array}$

       よって速さは

       $∥X\text{'}\left(t\right)∥=\frac{2e^{2t}}{\cos \theta }$
    2. 
       

       速度ベクトルと加速度ベクトルのなす角を a とする。

       $\begin{array}{l}X\text{'}\text{'}\left(t\right)·B=4e^{2t}\\ ∥X\text{'}\text{'}\left(t\right)∥\cos a=4e^{2t}\\ X\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\text{'}\left(t\right)\\ =∥X\text{'}\left(t\right)∥∥X\text{'}\text{'}\left(t\right)∥\cos \left(\theta +a\right)\\ =\frac{2e^{2t}}{\cos \theta }·∥X\text{'}\text{'}\left(t\right)∥\left(\cos \theta \cos a-\sin \theta \sin a\right)\\ =2e^{2t}\left(4e^{2t}-∥X\text{'}\text{'}\left(t\right)∥\tan \theta \sqrt{1-{\cos }^{2}a}\right)\\ =2e^{2t}\left(4e^{2t}-\tan \theta \sqrt{{∥X\text{'}\text{'}\left(t\right)∥}^2-16e^{4t}}\right)\end{array}$