数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - いくつかの練習問題 - ニュートンの定理、対辺が平行ではない四角形、位置ベクトル、延長線上の点、基準値、位置ベクトル、内分点、直線上、定数倍

新装版数学読本3
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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問42の解答を求めてみる。

平行四辺形 OA CB の頂点 O を基準とする A、D、B、Eの位置ベクトルをそれぞれ、

$\begin{array}{l} \vec{a} \\ k \vec{a} \\ \vec{b} \\ l \vec{b} \\ k > 1, l > 1 \end{array}$

とする。

線分 AD の中点 P の位置ベクトルは、

$\begin{array}{l} \vec{p} \\ = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \end{array}$

線分 DE の中点 R の位置ベクトルは、

$\begin{array}{l} \vec{r} \\ = \frac{\vec{d} + \vec{e}}{2} \\ = \frac{k \vec{a} + l \vec{b}}{2} \end{array}$

また、点 C の位置ベクトルについて、

$\begin{array}{l} A C : C E = t : 1 - t \\ B C : C D = s : 1 - t \end{array}$

とおけば

$\begin{array}{l} \vec{c} \\ = (1 - t) \vec{a} + t \vec{e} \\ = (1 - t) \vec{a} + t l \vec{b} \\ = (1 - s) \vec{b} + s \vec{d} \\ = (1 - s) \vec{b} + s k \vec{a} \\ {\begin{cases} 1 - t = s k \\ t l = 1 - s \end{cases} \\ t = 1 - s k \\ (1 - s k) l = 1 - s \\ l - 1 = s (k l - 1) \\ s = \frac{l - 1}{k l - 1} \\ \vec{c} = \frac{k (l - 1)}{k l - 1} \vec{a} + \frac{k l - 1 - l + 1}{k l - 1} \vec{b} \\ = \frac{k (l - 1)}{k l - 1} \vec{a} + \frac{(k - 1) l}{k l - 1} \vec{b} \end{array}$

よって、点 Q の位置ベクトルは

$\vec{q} = \frac{k (l - 1)}{2 (k l - 1)} \vec{a} + \frac{(k - 1) l}{2 (k l - 1)} \vec{b}$

以上から

$\begin{array}{l} \vec{P R} = \frac{1}{2} (k - 1) \vec{a} + \frac{1}{2} (l - 1) \vec{b} \\ \vec{P Q} \\ = \vec{q} - \vec{p} \\ = \frac{1}{2} (\frac{k (l - 1)}{k l - 1} - 1) \vec{a} + \frac{1}{2} (\frac{(k - 1) l}{k l - 1} - 1) \vec{b} \\ = \frac{1}{2 (k l - 1)} (1 - k) \vec{a} + (1 - l) \vec{b} \\ = - \frac{1}{k l - 1} \vec{P R} \end{array}$

よって3点 P、 Q、 R は一直線上にある。

（証明終）

Kamimura's blog

2020年3月18日水曜日

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