数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 擬順序、公理、反射律、推移律、対称律、同値関係、商集合、同値類、代表元、順序関係、反対称律

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   1. 
      

      任意の X の元 a に対して、 PO 1 の反射律より

      $aPa\wedge aPa$

      なので

      $aRa$

      任意の X の元 a、 b に対して

      $aRb$

      ならば、

      $\begin{array}{l}aPb\wedge bPa\\ \iff bPa\wedge aPb\end{array}$

      よって、

      $bRa$

      また、 a、 b、 c と X の任意の元とするとき、

      $aRb\wedge bRc$

      ならば PO 3の推移律より

      $\begin{array}{l}\left(aPb\wedge bPa\right)\wedge \left(bPc\wedge cPb\right)\\ \iff \left(aPb\wedge bPc\right)\wedge \left(cPb\wedge bPa\right)\\ \Rightarrow \left(aPc\right)\wedge \left(cPa\right)\\ \iff aRc\end{array}$

      よって3つの法則 反射律、対称律、推移仲が成り立つので、 関係 R は同値関係である。

      （証明終）

      ここから
      推移律より、

      $\begin{array}{l}xRx\text{'}\wedge yRy\text{'}\wedge xPy\\ \iff xPx\text{'}\wedge x\text{'}Px\wedge yPy\text{'}\wedge y\text{'}Py\wedge xPy\\ \Rightarrow x\text{'}Px\wedge xPy\wedge yPy\text{'}\\ \Rightarrow x\text{'}Py\text{'}\end{array}$
   2. 
      

      a、 b、 c、 d を X の任意の元とし、

      $\begin{array}{l}{a}^{*}=b^{*}\\ c^{*}=d^{*}\end{array}$

      とする。

      このとき、

      $\begin{array}{l}aRb\\ cRd\end{array}$

      で、

      $a^{*}{P}^{*}{c}^{*}$

      ならば

      $aPc$

      で、 (b) より

      $bPd$

      すなわち

      $b^{*}{P}^{*}{d}^{*}$

      よって、 この関係は代表の取り方 に無関係に定義される。

      $x^{*},y^{*},z^{*}$

      を R 同値類の任意の元とする。

      $xPx$

      が成り立つので

      $x^{*}{P}^{*}{x}^{*}$

      すなわち反射律が成り立つ。

      また、

      $x^{*}{P}^{*}{y}^{*}\wedge y^{*}{P}^{*}{x}^{*}$

      ならば

      $\begin{array}{l}xPy\wedge yPx\\ \iff xRy\\ \iff x=y\\ \iff x^{*}=y^{*}\end{array}$

      よって反対称律が成り立つ。

      また

      $\begin{array}{l}{x}^{*}{P}^{*}{y}^{*}\wedge y^{*}{P}^{*}{z}^{*}\\ \iff xPy\wedge yPz\\ \Rightarrow xPz\\ \iff x^{*}{P}^{*}{z}^{*}\end{array}$

      なので、推移律が成り立つ。

      よって、関係

      $P^{*}$

      は商集合

      $X/R=X^{*}$

      上の順序関係となる。

      （証明終）