数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 写像、べき集合、部分集合、像、逆像

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   • 
     

     A を X のべき集合の任意の元とする。

     このとき

     $\begin{array}{l}{\left(g\circ f\right)}_{*}\left(A\right)\\ =\left(g\circ f\right)\left(A\right)\\ =g\left(f\left(A\right)\right)\\ \left(g_{*}\circ f_{*}\right)\left(A\right)\\ =g_{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)\\ =g_{*}\left(f\left(A\right)\right)\\ =g\left(f\left(A\right)\right)\end{array}$

     よって

     ${\left(g\circ f\right)}_{*}=g_{*}\circ f_{*}$
   • 
     

     B を Z のべき集合の任意の元とする。

     このとき、

     $\begin{array}{l}{\left(g\circ f\right)}^{*}\left(B\right)\\ =f^{*}\left(g^{-1}\left(B\right)\right)\\ =f^{-1}\left(g^{-1}\left(B\right)\right)\\ \left(f^{*}\circ g^{*}\right)\left(B\right)\\ =f^{*}\left(g^{-1}\left(B\right)\right)\\ =f^{-1}\left(g^{-1}\left(B\right)\right)\end{array}$

     よって

     ${\left(g\circ f\right)}^{*}=f^{*}\circ g^{*}$

     （証明終）