数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係 - 十分条件、全射の場合、写像、べき集合、部分集合、像、逆像

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $f:X\to Y$

   が全射ならば、

   $f_{*}:P\left(X\right)\to P\left(Y\right)$

   は全射、

   $f^{*}:P\left(Y\right)\to P\left(X\right)$

   は単射である。

   この命題を確認。

   A を Y のべき集合の任意の元、すなわち Y の任意の部分集合とする。

   f は全射なので、任意の A の元 a に対して

   $f\left(x\right)=a$

   となる X の元 x が存在する。

   よって、

   $f\left(B\right)=A$

   となる X の部分集合 B が存在する。

   ゆえに、

   $f_{*}:P\left(X\right)\to P\left(Y\right)$

   は全射である。

   A、 B と Y の任意の部分集合 とする。

   $f^{*}\left(A\right)=f^{*}\left(B\right)$

   ならば

   $f_{*}\left(f^{*}\left(A\right)\right)=f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)$

   また、 Y の任意の元 a に対して、 f は全射なので

   $\begin{array}{l}a\in f_{*}\left(f^{*}\left(A\right)\right)\\ \iff a\in f\left(f^{*}\left(A\right)\right)\\ \iff \exists x\in X\left[x\in f^{*}\left(A\right)\wedge f\left(x\right)=a\right]\\ \iff \exists x\in X\left[f\left(x\right)\in A\wedge f\left(x\right)=a\right]\\ \iff a\in A\end{array}$

   よって、

   $f_{*}\left(f^{*}\left(A\right)\right)=A$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}{f}_{*}\left(f^{*}\left(A\right)\right)=f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\\ A=B\end{array}$

   よって

   $f^{*}:P\left(Y\right)\to P\left(X\right)$

   は単射である。