数学 - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 3次元、一次従属、外積、内積、零、必要十分条件

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題3の解答を求めてみる。

1. a、 b が1次従属であるとし、
  
  $\begin{array}{l} c_{1} \neq 0 \\ c_{1} a + c_{2} b = 0 \end{array}$
  
  とする。
  
  $\begin{array}{l} a = - \frac{c_{2}}{c_{1}} b \\ a \times b \\ = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{3} b_{1}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \\ = - \frac{c_{2}}{c_{1}} (b_{2} b_{3} - b_{3} b_{2}, b_{3} b_{1} - b_{3} b_{1}, b_{1} b_{2} - b_{2} b_{1}) \\ = 0 \end{array}$
  
  同様にして
  
  $c_{2} \neq 0$
  
  のとき
  
  $a \times b = 0$
  
  逆に、
  
  $\begin{array}{l} a \times b = O \\ a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} = 0 \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} = 0 \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0 \end{array}$
  
  のとき、
  
  $c_{1} a + c_{2} b = O$
  
  を満たす
  
  $c_{1}, c_{2}$
  
  を考える。
  
  $\begin{array}{l} {\begin{cases} c_{1} a_{1} + c_{2} b_{1} = 0 \\ c_{1} a_{2} + c_{2} b_{2} = 0 \\ c_{1} a_{3} + c_{3} b_{3} = 0 \end{cases} \\ c_{1} a_{1} a_{2} + c_{2} a_{2} b_{1} = 0 \\ c_{1} a_{1} a_{2} + c_{2} a_{1} b_{2} = 0 \\ c_{2} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = 0 \\ c_{2} 0 = 0 \end{array}$
  
  よって、
  
  $c_{2} \neq 0$
  
  でもよい。
  
  ゆえに、 a、 b は1次従属である。
  
  以上より、必要十分条件である。
  
  （証明終）
2. ベクトル a、 b、 c が1次従属であるとし、
  
  $\begin{array}{l} x \neq 0 \\ x a + y b + z c = 0 \end{array}$
  
  とする。
  
  このとき、
  
  $\begin{array}{l} a = \frac{- y b - z c}{x} \\ (a \times b) \cdot c \\ = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) c_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) c_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) c_{3} \\ = \frac{1}{x} ((- y b_{2} - z c_{2}) b_{3} - (- y b_{3} - z c_{3}) b_{2}) c_{1} \\ + \frac{1}{x} ((- y b_{3} - z c_{3}) b_{1} - (- y b_{1} - z c_{1}) b_{3}) c_{2} \\ + \frac{1}{x} ((- y b_{1} - z c_{1}) b_{2} - (- y b_{2} - z c_{2}) b_{1}) c_{3} \\ = 0 \end{array}$
  
  y または z が零ではない場合も同様に
  
  $(a \times b) \cdot c = 0$
  
  逆に、
  
  $\begin{array}{l} (a \times b) \cdot c = 0 \\ (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) c_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) c_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) c_{3} = 0 \end{array}$
  
  の場合、
  
  $x a + y b + z c = O$
  
  を満たす x、 y、 z を考える。
  
  $\begin{array}{l} {\begin{cases} x a_{1} + y b_{1} + z c_{1} = 0 \\ x a_{2} + y b_{2} + z c_{2} = 0 \\ x a_{3} + y b_{3} + z c_{3} = 0 \end{cases} \\ x a_{1} a_{2} + y a_{2} b_{1} + z a_{2} c_{1} = 0 \\ x a_{1} a_{2} + y a_{1} b_{2} + z a_{1} c_{2} = 0 \\ y (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) - z (a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}) = 0 \\ y (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) c_{3} - z (a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}) c_{3} = 0 \\ y (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) c_{1} - z (a_{2} b_{3} - a_{3} c_{2}) c_{1} = 0 \\ y (a_{3} b_{1} - a_{3} b_{1}) c_{2} - z (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) c_{2} = 0 \\ y ((a \times b) \cdot c) = 0 \end{array}$
  
  よって、
  
  $y \neq 0$
  
  でもよい。
  
  ゆえに、 a 、 b、 c は 1次従属である。
  
  以上より、必要な条件である。
  
  （証明終）

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2020年4月5日日曜日

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