数学 - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 実n次元空間、互いに直交するゼロでないベクトル、一次独立、内積 | Kamimura's blog

2020年4月11日土曜日

数学 - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 実n次元空間、互いに直交するゼロでないベクトル、一次独立、内積

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題8の解答を求めてみる。

$\sum_{k = 1}^{r} c_{k} u_{k} = O$

を満たす

$\begin{array}{l} c_{k} \\ (k = 1, \dots, r) \end{array}$

を考える。

$\begin{array}{l} 0 \leq i \leq r \\ (\sum_{k = 1}^{r} c_{k} u_{k}) \cdot u_{i} = O \cdot u_{i} \\ \sum_{k = 1}^{r} c_{k} u_{k} \cdot u_{i} = 0 \\ \sum_{k = 1}^{i - 1} c_{k} u_{k} \cdot u_{i} + c_{i} u_{i} \cdot u_{i} + \sum_{k = i + 1}^{r} c_{k} u_{k} \cdot u_{i} = 0 \end{array}$

問題の仮定より互いに直交する零でないベクトルなので、

$\begin{array}{l} c_{i} {|u_{i}|}^{2} = 0 \\ c_{i} = 0 \end{array}$

よって、

$u_{1}, \dots, u_{r}$

は1次独立である。

（証明終）

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