数学 - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 部分空間、有限次元

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      

      V の基底を

      $\left\{v_1,\dots ,v_n\right\}$

      と する。

      W の V の部分空間なので、 W の任意の元 w は

      $\begin{array}{l}w=\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k\\ \left(c_k\in F,k=1,\dots ,n\right)\end{array}$

      と表すことができる。

      よって

      $\dim W\le n$

      である。

      （証明終）

   2. 
      
      $\dim W=n$

      のとき、

      $\left\{v_1,\dots ,v_n\right\}$

      は W の基底なので、

      $W=V$

      である。

      （証明終）