数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の核と像 - 2次元、一次独立、像、一次元、零ベクトル、一次独立、一次従属

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   w を像の任意の元とする。

   このときある

   $v=c_{1}A+c_{2}B$

   が存在して

   $\begin{array}{l}F\left(v\right)=w\\ c_{1}F\left(A\right)+c_{2}F\left(B\right)=w\end{array}$

   よって 線形写像 F による像は

   $F\left(A\right),F\left(B\right)$

   により生成されるベクトル空間である。

   ゆえに

   $F\left(A\right)=F\left(B\right)=O$

   の場合、 像は

   $\left\{O\right\}$

   であるか、

   $F\left(A\right),F\left(B\right)$

   が 1次従属で1次元であるか、

   $F\left(A\right),F\left(B\right)$

   が1次独立で 2次元であるかである。

   （証明終）