数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の核と像 - 解、核の元、基底、一次結合 | Kamimura's blog

2020年4月11日土曜日

数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の核と像 - 解、核の元、基底、一次結合

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題5の解答を求めてみる。

V の基底を

$\{v_{1}, \dots, v_{n}\}$

とする。

$v_{0} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} v_{k}$

とおく。

$L (X) = w$

を満たす X を考える。

$X = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} v_{k}$

とおく。

$\begin{array}{l} X \\ = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} v_{k} + \sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - c_{k}) v_{k} \\ = v_{0} + \sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - c_{k}) v_{k} \\ L (X) \\ = L (v_{0}) + L (\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - c_{k}) v_{k}) \\ = w + L (\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - c_{k}) v_{k}) \end{array}$

よって、

$L (\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - c_{k}) v_{k}) = O$

ゆえに、

$\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - c_{k}) v_{k}$

は L の核の元なので、

$L (X) = w$

の任意の解は

$v_{0} + u$

（u は L の核の元）の形に書ける。

（証明終）

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