2020年4月9日木曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題3の解答を求めてみる。


  1. V の基底を

    vn,,vn

    とする。

    v を V の任意の元とし、

    v=k=1nckvk

    とおく。

    v の線形写像 F による像は、

    Fv=Fk=1nckvk=k=1nckFvk

    また、

    k=1nckFvk=O

    を満たす

    ckk=1,...,n

    を考える。 問題の仮定より線形写像 F の核は

    O

    なので、

    k=1nckvk=O

    これと

    vn,,vn

    が V の基底、 すなわち1は独立であることから

    c1==ck=0

    よって、

    Fvn,,Fvn

    は1次独立である。

    また、問題の仮定より W の次元は n なので、

    Fvn,,Fvn

    は W の基底である。

    ゆえに、 W の任意の元 w は

    w=k=1ndkFvk=Fk=1ndkvk

    と表すことができるので、 W は F の 像全体と一致する。

    (証明終)

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