数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 一次独立、3点によって決定される三角形、凸集合、包含関係、像

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題21の解答を求めてみる。

1. D、 E を三角形の任意の2点とする。
  
  $\begin{array}{l} D = t_{1} A + t_{2} B + t_{3} C \\ t_{1} + t_{2} + t_{3} = 1 \\ E = s_{1} A + s_{2} B + s_{3} C \\ s_{1} + s_{2} + s_{3} = 1 \end{array}$
  
  とおくと、 2点、 D、 E を結ぶ線分 DE上の点は
  
  $\begin{array}{l} 0 \leq l \leq 1 \\ (1 - l) D + l E \\ = D - l D + l E \\ = (t_{1} - l (t_{1} - s_{1})) A + (t_{2} - l (t_{2} - s_{2})) B + (t \frac{}{3} l (t_{3} - s_{3})) C \\ = \sum_{k = 1}^{3} (t_{k} - l (t_{k} - s_{k})) \\ = \sum_{k = 1}^{3} t_{k} - l (\sum_{k = 1}^{3} t_{k} - \sum_{k = 1}^{3} s_{k}) \\ = 1 - l (1 - 1) \\ = 1 \\ t_{k} - l (t_{k} - s_{k}) \\ = (1 - l) t_{k} + l s_{k} \\ \geq 0 \end{array}$
  
  なので、三角形の元である。
  
  よって、三角形は凸である。
  
  （証明終）
2. 三角形 ABC の任意の元について、
  
  $\begin{array}{l} t_{i} \geq 0 (i = 1, 2, 3) \\ \sum_{i = 1}^{3} t_{i} = 1 \\ t_{1} A + t_{2} B + t_{3} C \\ = t_{1} A + t_{2} B + (1 - t_{1} - t_{2}) C \\ = t_{1} A + (1 - t_{1}) C + t_{2} B + (1 - t_{2}) C - C \end{array}$
  
  ここで、
  
  $t_{1} A + (1 - t_{1}) C$
  
  は線分 AB 上の点、
  
  $t_{2} B + (1 - t_{2}) C$
  
  は線分 BC 上の点である。
  
  よって、この点を結ぶ線分上の点は問題の凸集合の点である。
  
  この点を D とおくと、
  
  $D - C$
  
  は線分 CD で問題の凸集合に含まれる。
  
  ゆえに ABC を含む任意の凸集合は ABC によって決定される三角形を含む。
  
  （証明終）
3. $\begin{array}{l} t_{i} \geq 0 (i = 1, 2, 3) \\ \sum_{i = 1}^{3} t_{i} = 1 \\ F (t_{1} A + t_{2} B + t_{3} C) \\ = t_{1} F (A) + t_{2} F (B) + t_{3} F (C) \end{array}$
  
  よって A、 B、 C によって決定される三角形の線形写像 F による像は、
  
  $F (A), F (B), F (C)$
  
  によって決定される三角形である。
  
  （証明終）

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2020年4月3日金曜日

数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 一次独立、3点によって決定される三角形、凸集合、包含関係、像

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