数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 一次独立、線形写像の像の一次結合

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題22の解答を求めてみる。

22. 
    
    $\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k=O$

    を満たす

    $c_k\left(k=1,\dots ,n\right)$

    を求める。

    $\begin{array}{l}f\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k\right)=O\\ \sum _{k=1}^n{c}_{k}f\left(v_k\right)=O\\ \sum _{k=1}^n{c}_k{w}_k=O\end{array}$

    問題の仮定より、

    $w_1,\dots ,w_n$

    は W の1次独立な元なので、

    $\begin{array}{l}{c}_k=0\\ \left(k=1,\dots ,n\right)\end{array}$

    よって、 V の元

    $v_1,\dots ,v_n$

    は1次独立である。

    （証明終）