数学 - 線形代数学 - 線形写像 - n次元空間、3点、1次独立、直線

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題20の解答を求めてみる。

20. 
    

    2つのベクトル

    $B-A,C-A$

    が1次独立であるとする。

    $m\left(B-A\right)=n\left(C-A\right)$

    と 満たす m、 n を考える。

    $m\left(B-A\right)-n\left(C-A\right)=O$

    で、

    $m=n=0$

    よって、

    $B-A=n\left(C-A\right)$

    を満たす n は存在しない。

    よって、 3点 A、 B、 C は1直線上にない。

    逆に 3点が値線上にない場合、

    $\begin{array}{l}m\left(B-A\right)=n\left(C-A\right)\\ m\left(B-A\right)-n\left(C-A\right)=O\\ m\ne 0\vee n\ne 0\end{array}$

    を満たす m、 n は存在しない。

    よって、

    $m=n=0$

    なので、 2つのベクトル

    $B-A,C-A$

    は1次独立である。

    （証明終）