数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - 同形写像、全単射

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   V の任意の元 a、 b に対して、

   $L\left(a\right)=L\left(b\right)$

   のとき、

   $\begin{array}{l}L\left(a\right)-L\left(b\right)=O\\ L\left(a-b\right)=O\end{array}$

   また、

   $\dim V=\dim W$

   より、 核の次元は

   $\dim V-\dim W=0$

   よって、 問題の線形写像 L の核は

   $\left\{O\right\}$

   すなわち、

   $\begin{array}{l}a-b=O\\ a=b\end{array}$

   よって、 L は全単射なので同形写像である。

   （証明終）