数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - 線形単射

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}f:\text{ℝ}\to V\\ f\left(x\right)=xv\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{l}f\left(cx\right)\\ =\left(cx\right)v\\ =c\left(xv\right)\\ =cf\left(x\right)\\ f\left(x+y\right)\\ =\left(x+y\right)v\\ =xv+yv\\ =f\left(x\right)+f\left(y\right)\end{array}$

   よって、 f は線形写像である。

   x 、 y と 任意の2つの実数とする。

   $f\left(x\right)=f\left(y\right)$

   ならば、

   $\begin{array}{l}xv=yv\\ xv-yv=O\\ \left(x-y\right)v=O\\ x-y=0\\ x=y\end{array}$

   よって f は単射である。

   ゆえに f は線形単射である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix
from sympy.plotting import plot_parametric, plot3d_parametric_line

print('2.')

x = symbols('x')
v = Matrix([1, -2, 3])
p0 = plot_parametric(x * v[0], x * v[1],
                     ylim=(-10, 10),
                     show=False)
p0.save('sample2_0.png')
p1 = plot3d_parametric_line(*(x * v),
                            show=False)
p1.show()
p1.save('sample2_1.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
%