数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - ベクトル空間、部分空間、直和、共通部分、和、等式

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    $f:U\times W\to U+W$

    という線形写像を考える。

    この核は

    $U\cap W$

    と同形なので次元は

    $\dim \left(U\cap W\right)$

    像の次元は

    $\dim \left(U+W\right)$

    また、始域の次元は

    $\begin{array}{l}\dim \left(U\times W\right)\\ =\dim U+\dim W\end{array}$

    よって、

    $\dim U+\dim W=\dim \left(U\cap W\right)+\dim \left(U+W\right)$