数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - ベクトル空間、部分空間、直和、核、共通部部分、同形

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題12の解答を求めてみる。

11. 
    
    $f\left(u,w\right)=u-w$

    とおく。

    $\begin{array}{l}f\left(\left(u_1,w_1\right)+\left(u_2,w_2\right)\right)\\ =f\left(u_1+u_2,w_1+w_2\right)\\ =\left(u_1+u_2\right)-\left(w_1+w_2\right)\\ =\left(u_1-w_1\right)+\left(u_2-w_2\right)\\ =f\left(u_1,w_1\right)+f\left(u_2,w_2\right)\\ f\left(c\left(u,w\right)\right)\\ =f\left(cu,cw\right)\\ =cu-cw\\ =c\left(u-w\right)\\ =cf\left(u,w\right)\end{array}$

    よって、 f は線形写像である。

    $\begin{array}{l}u+w\\ =u-\left(-w\right)\\ u-w\\ =u+\left(-w\right)\end{array}$

    よって、 f の像は

    $U+W$

    である。

    核は

    $\begin{array}{l}\left\{\left(u,w\right)\in U\times W|u-w=O\right\}\\ =\left\{\left(u,w\right)\in U\times W|u=w\right\}\end{array}$

    よって 線形写像

    $\begin{array}{l}g:U\cap W\to \left\{\left(u,w\right)\in U\times W|u=w\right\}\\ g\left(v\right)=\left(v,v\right)\end{array}$

    は同形写像、すなわと f の核は

    $U\cap W$

    と同形である。

    （証明終）