数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - 像と核、直和

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   v をベクトル空間 V の任意の元とする。

   このとき

   $\begin{array}{l}v=\left(v-P\left(v\right)\right)+P\left(v\right)\\ P\left(v-P\left(v\right)\right)\\ =P\left(v\right)+P\left(P\left(-v\right)\right)\\ =P\left(v\right)+\left(P\circ P\right)\left(-v\right)\\ =P\left(v\right)+P\left(-v\right)\\ =P\left(v\right)-P\left(v\right)\\ =O\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}v-P\left(v\right)\\ P\left(v\right)\end{array}$

   はそれぞれ P の核と像である

   ゆえに、 V は P の像 U と P の核 W の直和である。

   （証明終）