数学 - Python - 代数学 - 連立方程式と高次方程式 - 連立2次方程式 - 連立3元2次方程式、未知数、解

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(連立方程式と高次方程式)、2(連立2次方程式)、問10の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} x = 2 y + 5 \\ 2 y + 5 + y - z = - 4 \\ z = 3 y + 9 \\ {(2 y + 5)}^{2} + 2 y^{2} - {(3 (y + 3))}^{2} = 0 \\ 4 y^{2} + 20 y + 25 + 2 y^{2} - 9 y^{2} - 54 y - 81 = 0 \\ 3 y^{2} + 34 y + 56 = 0 \\ y = \frac{- 17 \pm \sqrt{1 7^{2} - 168}}{3} \\ = \frac{- 17 \pm 11}{3} \\ = - 2, - \frac{28}{3} \\ {\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = 3 \end{cases} \\ {\begin{cases} x = - \frac{41}{3} \\ y = - \frac{28}{3} \\ z = - 19 \end{cases} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} {(x + y + z)}^{2} = 25 \\ x + y + z = \pm 5 \\ {\begin{cases} x = \pm \frac{8}{5} \\ y = \pm \frac{12}{5} \\ z = \pm 1 \end{cases} \end{array}$
  
  （複号同順）
3. $\begin{array}{l} y = \frac{420}{x} \\ z = 70 - (x + y) \\ = 70 - (x + \frac{420}{x}) \\ x^{2} + {(\frac{420}{x})}^{2} = {(70 - (x + \frac{420}{x}))}^{2} \\ 7 0^{2} - 2 \cdot 70 (x + \frac{420}{x}) + 2 \cdot 420 = 0 \\ 35 - x - \frac{420}{x} + 6 = 0 \\ x^{2} - 41 x + 420 = 0 \\ (x - 20) (x - 21) = 0 \\ {\begin{cases} x = 20 \\ y = 21 \\ z = 29 \end{cases} \\ {\begin{cases} x = 21 \\ y = 20 \\ z = 29 \end{cases} \end{array}$
4. $\begin{array}{l} y z = 4 - x y \\ 8 - 2 x y + z x = - 32 \\ z x = 2 x y - 40 \\ 2 x y - 40 - 8 x y = - 16 \\ - 6 x y = 24 \\ x y = - 4 \\ y z = 8 \\ z x = - 48 \\ {(x y z)}^{2} = 4 \cdot 8 \cdot 48 \\ {(x y z)}^{2} = 4^{2} \cdot 2 \cdot 4^{2} \cdot 3 \\ x y z = \pm 16 \sqrt{6} \\ x = \pm 2 \sqrt{6} \\ y = \mp \frac{16}{48} \sqrt{6} = \mp \frac{\sqrt{6}}{3} \\ z = \mp 4 \sqrt{6} \end{array}$
  
  （複号同順）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from typing import List from sympy import symbols, solve, Rational, sqrt print('10.') x, y, z = symbols('x, y, z') def k(d: dict) -> float: return (d[x], d[y], d[z]) def sorted_xyz(d: List[dict]) -> List[dict]: return sorted(d, key=k) class TestEquations(TestCase): def test1(self): self.assertEqual( sorted_xyz(solve([x - 2 * y - 5, x + y - z + 4, x ** 2 + 2 * y ** 2 - z ** 2])), sorted_xyz([{x: 1, y: -2, z: 3}, {x: -Rational(41, 3), y: -Rational(28, 3), z: -19}]) ) def test2(self): self.assertEqual( sorted_xyz(solve([x * (x + y + z) - 8, y * (x + y + z) - 12, z * (x + y + z) - 5])), sorted_xyz([{x: s * Rational(8, 5), y: s * Rational(12, 5), z: s * 1} for s in [-1, 1]]) ) def test3(self): self.assertEqual( sorted_xyz(solve([x + y + z - 70, x * y - 420, x ** 2 + y ** 2 - z ** 2])), sorted_xyz([{x: 20, y: 21, z: 29}, {x: 21, y: 20, z: 29}]) ) def test4(self): self.assertEqual( sorted_xyz(solve([x * y + y * z - 4, 2 * y * z + z * x + 32, z * x - 8 * x * y + 16])), sorted_xyz([{x: s * 2 * sqrt(6), y: s * -sqrt(6) / 3, z: s * -4 * sqrt(6)} for s in [-1, 1]]) ) if __name__ == "__main__": main()

% ./sample10.py -v 10. test1 (__main__.TestEquations) ... ok test2 (__main__.TestEquations) ... ok test3 (__main__.TestEquations) ... ok test4 (__main__.TestEquations) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 4 tests in 0.390s OK %

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2020年4月13日月曜日

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