数学 - Python - 代数学 - 連立方程式と高次方程式 - 連立2次方程式 - 針金、切断、長さ、面積、正方形、長方形、連立2元2次方程式

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(連立方程式と高次方程式)、2(連立2次方程式)、問13の解答を求めてみる。

13. 
    

    70 cm の針金を a cm と b cm の2つの部分に切るとする。

    a cm の針金で正方形のわくを作る。

    b cm の針金で 辺の比が1対2の 長方形のわくを作る。

    正方形の面積は

    ${\left(\frac{a}{4}\right)}^2$

    長方形の面積は

    $\frac{b}{2}·\frac{1}{3}·\frac{b}{2}·\frac{2}{3}=\frac{b^2}{18}$

    また、

    $a+b=70$

    正方形と長方形の面積が

    $150{\mathrm{cm}}^2$

    なので、

    ${\left(\frac{a}{4}\right)}^2+\frac{b^2}{18}=150$

    よって、 切り分けた針金の良さのそれぞれの長さを求めるには連立2元2次方程式

    $\begin{array}{l}0<a<70,0<b<70-a\\ \{\begin{array}{l}a+b=70\\ {\left(\frac{a}{4}\right)}^2+\frac{b^2}{18}=150\end{array}\end{array}$

    の解を求めればいい。

    $\begin{array}{l}b=70-a\\ {\left(\frac{a}{4}\right)}^2+\frac{{\left(70-a\right)}^2}{18}=150\\ \frac{a^2}{16}+\frac{a^2-140a+4900}{18}=150\\ 2^4·3^2\left(\frac{a^2}{16}+\frac{a^2-140a+4900}{18}\right)=150·2^4·3^2\\ 9a^2+8a^2-1120a+39200=21600\\ 17a^2-1120a+17600=0\\ \left(17a-440\right)\left(a-40\right)=0\\ \{\begin{array}{l}a=\frac{440}{17}\left(\mathrm{cm}\right)\\ b=\frac{750}{17}\left(\mathrm{cm}\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}a=40\left(\mathrm{cm}\right)\\ b=30\left(\mathrm{cm}\right)\end{array}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, Rational, plot

print('13.')

x, y = symbols('x, y', positive=True)


class TestRightTriangleSides(TestCase):
    def test(self):
        s = solve([x + y - 70,
                   (x / 4) ** 2 + y ** 2 * 2 / (2 * 3 * 2 * 3) - 150])
        self.assertEqual(s, [{x: Rational(440, 17), y: Rational(750, 17)},
                             {x: 40, y: 30}])


f = 70 - x
p = plot(f,
         (x / 4) ** 2 + (f / 2) * Rational(1, 3) * f / 2 * Rational(2, 3),
         150,
         (x, 0, 70),
         ylim=(0, 180),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink']

for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]

p.show()
p.save('sample13.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample13.py -v
13.
test (__main__.TestRightTriangleSides) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.252s

OK
%