2020年4月23日木曜日


解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題7の解答を求めてみる。



    1. ∂z∂r=∂∂rfx,y=∂∂rfrcosθ,rsinθ=∂f∂x,∂f∂y·cosθ,sinθ=∂f∂xcosθ+∂f∂ysinθ1r∂z∂θ=1r∂f∂x,∂f∂y·-rsinθ,rcosθ=-∂f∂xsinθ+∂f∂ycosθ

    2. ∂g∂r2+1r2∂r∂θ2=∂z∂r2+1r∂z∂θ2=∂f∂x2cos2θ+2∂f∂ysinθcosθ+∂f∂y2sin2θ+∂f∂x2sin2θ-2∂f∂ysinθcosθ+∂f∂y2cos2θ=∂f∂x2+∂f∂y2

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Function, sin, cos, pprint
from sympy.plotting import plot3d
print('7.')

x, y, r, theta = symbols('x, y, r, θ')
f = Function('f')(x, y)
xy = {x: r * cos(theta), y: r * sin(theta)}
z = f.subs(xy)


class TestDerivativeChainRule(TestCase):
    def test_a1(self):
        self.assertEqual(
            z.diff(r),
            (f.diff(x, 1) * cos(theta) + f.diff(y, 1) * sin(theta)).subs(xy)
        )

    def test_a2(self):
        self.assertEqual(
            (1 / r * z.diff(theta, 1)).simplify(),
            (-f.diff(x, 1).subs(xy) * sin(theta) +
             f.diff(y, 1) * cos(theta)).subs(xy).simplify()
        )


g = 2 * x ** 2 - y ** 3

for i, h in enumerate([g, g.subs(xy)]):
    p = plot3d(h, show=False)
    p.save(f'sample7_{i}.png')
p.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test_a1 (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok
test_a2 (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.775s

OK
%
時刻: 13:00 ラベル: , , , ,

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