2020年4月24日金曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題8の解答を求めてみる。



    1. r=X=x,y,z=x2+y2+z2dfdx=gx=dgdrxx2+y2+z2dfdy=dfdryx2+y2+z2dfdz=dfdrzx2+y2+z2dfdx2+dfdy2+dfdz2=dfdr2x2+y2+z2x2+y2+z2=dfdr2=dgdr2

    2. gx=fx=fu,fv·1,1=fu+fvgy=fu,fv·1,-1=fu-fvgxgy=fu2-fv2

    3. t=2x+7y

      とおく。

      このとき、

      gx=fx=dfds2gy=dfds7

      よって、

      12gx=17gy2gy=7gx

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Function, Matrix
from sympy.plotting import plot3d

print('8.')

x, y, z, r, u, v = symbols('x, y, z, r, u, v', real=True)


class TestDerivativeChainRule(TestCase):
    def test_a(self):
        X = Matrix([x, y, z])
        d = {r: X.norm()}
        g = Function('g')(r)
        f = g.subs(d)
        self.assertEqual(
            (g.diff(r, 1).subs(d) ** 2).simplify(),
            (f.diff(x, 1) ** 2 + f.diff(y, 1) ** 2 + f.diff(z, 1) ** 2)
            .simplify()
        )

    def test_b(self):
        f = Function('f')(u, v)
        d = {u: x + y, v: x - y}
        g = f.subs(d)
        self.assertEqual(
            (g.diff(x, 1) * g.diff(y, 1)).simplify(),
            (f.diff(u) ** 2 - f.diff(v, 1) ** 2).subs(d).simplify()
        )

    def test_c(self):
        f = Function('f')(r)
        d = {r: 2 * x + 7 * y}
        g = f.subs(d)
        self.assertEqual(2 * g.diff(y), 7 * g.diff(x, 1))


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test_a (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok
test_b (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok
test_c (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.608s

OK
%

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