数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 三角関数(正弦と余弦)、内積、偏微分

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{\partial g}{\partial u}\\ =\frac{\partial f}{\partial u}\\ =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)·\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\ =\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta \\ \frac{\partial g}{\partial v}\\ =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)·\left(-\sin \theta ,\cos \theta \right)\\ =-\frac{\partial f}{\partial x}\sin \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \theta \\ {\left(\frac{\partial g}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial g}{\partial v}\right)}^2\\ ={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2{\cos }^2\theta +2\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta \cos \theta +{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2{\sin }^2\theta \\ +{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2{\sin }^2\theta -2\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta \cos \theta +{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2{\cos }^2\theta \\ ={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Function, sin, cos
from sympy.plotting import plot3d
import random

print('10.')

x, y, u, v, theta = symbols('x, y, u, v, θ', real=True)
f = 2 * x + y ** 2
xy = {x: u * cos(theta) - v * sin(theta),
      y: u * sin(theta) + v * cos(theta)}
g = f.subs(xy)


class TestDerivativeChainRule(TestCase):
    def test(self):
        left = g.diff(u, 1) ** 2 + g.diff(v, 1) ** 2
        right = (f.diff(x, 1) ** 2 + f.diff(y, 1) ** 2).subs(xy)
        for _ in range(10):
            d = {o: random.randrange(-100, 101) for o in [x, y, u, v, theta]}
            self.assertEqual(
                float(left.subs(d)),
                float(right.subs(d)))


p = plot3d(*[g.subs({theta: o}) for o in range(-5, 5)], show=True)
p.save('sample10.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py -v
10.
test (__main__.TestDerivativeChainRule) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.131s

OK
%