数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 球面上の2点、パラメーター方程式、逆向き、原点、半径

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題12の解答を求めてみる。

12. 
    

    点 P、 Q は原点を中心とする半径1の球面 上の点なので、

    $\left|P\right|=\left|Q\right|=1$

    である。

    $\begin{array}{l}0\le t\le 1\\ L\left(t\right)=O\\ P+t\left(Q-P\right)=O\\ \left(1-t\right)P+tQ=O\\ \left(1-t\right)P=-tQ\\ \left|\left(1-t\right)P\right|=\left|-tQ\right|\\ \left(1-t\right)\left|P\right|=t\left|Q\right|\\ 1-t=\pi \\ t=\frac{1}{2}\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}\left(1-\frac{1}{2}\right)P=-\frac{1}{2}Q\\ P=-Q\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, sin, cos, Matrix, solve, Rational, sqrt
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line, plot3d

print('12.')

t = symbols('t')
p = Matrix([1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2 * sqrt(2)), sqrt(2 * sqrt(2))])
q = Matrix([-1 / sqrt(2), -1 / sqrt(2 * sqrt(2)), -sqrt(2 * sqrt(2))])
l = p + t * (q - p)


class Test(TestCase):
    def test_t(self):
        self.assertEqual(solve([o for o in l]), {t: Rational(1, 2)})

    def test_pq(self):
        for pi, qi in zip(p, q):
            self.assertEqual(pi, -qi)


pp = plot3d_parametric_line(*l, (t, 0, 1), show=False)
x, y = symbols('x, y')
for o in plot3d(*[s * sqrt(1 - x ** 2 - y ** 2) for s in [-1, 1]],
                (x, -1, 1),
                (y, -1, 1),
                show=False):
    pp.append(o)

pp.show()
pp.save('sample12.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample12.py -v
12.
test_pq (__main__.Test) ... ok
test_t (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.022s

OK
%