数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - ノルム、偏微分、指数関数、対数関数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   1. 
      
      $X=\left(x_1,\dots ,x_n\right)$

      とおく。

      このとき、

      $\begin{array}{l}r\\ =∥X∥\\ =\sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}\end{array}$

      求める勾配ベクトルは

      $\begin{array}{l}gradf\left(X\right)=\left(D_{1}f\left(X\right),\dots ,D_{n.}f\left(X\right)\right)\\ D_{k}f\left(X\right)\\ =\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}f\left(X\right)\\ =\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}g\left(r\right)\\ =\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}·\frac{1}{r}\\ =-\frac{1}{r^2}·\frac{x_k}{\sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}}\\ =-\frac{x_k}{r^3}\\ gradf\left(X\right)=-\frac{X}{r^3}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}gradf\left(X\right)\\ =gradg\left(r\right)\\ =grad{r}^2\\ =\left(2r\frac{x_1}{r},\dots ,2r\frac{x_n}{r}\right)\\ =2X\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}\frac{1}{r^3}\\ =-\frac{3r^2}{r^6}-\frac{x_k}{r}\\ =-\frac{3x_k}{r^5}\\ gradf\left(X\right)=-\frac{3X}{r^5}\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}{e}^{-r^2}\\ =-2r{e}^{-r^2}·\frac{x_k}{r}\\ =-2e^{-r^2}{x}_k\\ gradf\left(X\right)=-2e^{-r^2}X\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}\log \frac{1}{r}\\ =-r·\frac{1}{r^2}\frac{x_k}{r}\\ =-\frac{x_k}{r^2}\\ gradf\left(X\right)=-\frac{X}{r^2}\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{{\mathrm{dx}}_k}\frac{4}{r^m}\\ =-\frac{4·m{r}^{m-1}}{r^{2m}}·\frac{x_k}{r}\\ =-\frac{4m{x}_k}{r^{m+2}}\\ gradf\left(X\right)=-\frac{4mX}{r^{m+2}}\end{array}$