数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 球面上の2点、パラメーター方程式、異なる向き、結ぶ曲線、微分可能性、長さ

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    

    点 P、 Q は 原点を中心とする半径1の球面上の点なので、

    $\left|P\right|=\left|Q\right|=1$

    また、

    $\begin{array}{l}\left|L\left(t\right)\right|\\ =\left|P+t\left(Q-P\right)\right|\\ =\left|\left(1-t\right)P+tQ\right|\\ =\sqrt{\left(\left(1-t\right)P+tQ\right)·\left(\left(1-t\right)P+tQ\right)}\\ =\sqrt{{\left(1-t\right)}^2{\left|P\right|}^2+2t\left(1-t\right)P·Q+t^2{\left|Q\right|}^2}\\ =\sqrt{{\left(1-t\right)}^2+2t\left(1-t\right)P·Q+t^2}\\ =\sqrt{1-2t+2t^2+2t\left(1-t\right)P·Q}\\ \frac{L\left(0\right)}{\left|L\left(0\right)\right|}=Q\\ \frac{L\left(1\right)}{\left|L\left(1\right)\right|}=P\\ \left|\frac{L\left(t\right)}{\left|L\left(t\right)\right|}\right|=1\end{array}$

    よって、 曲線

    $\frac{L\left(t\right)}{\left|L\left(t\right)\right|}$

    は2点 P、 Q を結ぶ、原点を中心とする半径1 の球面上の曲線である。

    そして微分可能である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, Matrix, sqrt
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

print('13.')

t = symbols('t')
p = Matrix([1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2 * sqrt(2)), sqrt(2 * sqrt(2))])
q = Matrix([1 / sqrt(2), -1 / sqrt(2 * sqrt(2)), -sqrt(2 * sqrt(2))])
l = p + t * (q - p)
f = l / l.norm()

pp = plot3d_parametric_line(*f, (t, 0, 1), show=True)
pp.save('sample13.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample13.py
13.
%