数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 基底、次元、一次独立、座標ベクトル

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}{c}_{1}a+c_{2}b+c_{3}c=0\\ \left(c_1+c_2,-c_1+2c_3,c_2+c_3\right)=\left(0,0,0\right)\end{array}$

   を満たす

   $c_1,c_2,c_3$

   を求める。

   $\begin{array}{l}{c}_1+c_2=0\\ c_2=-c_1\\ -c_1+c_3=0\\ c_3=c_1\\ -c_1+2c_1=0\\ c_1=0\\ c_2=0\\ c_3=0\end{array}$

   よって、 ベクトル a、 b、 c は1は独立。

   また3次元なので、

   $\left\{a,b,c\right\}$

   は

   ${\text{ℝ}}^3$

   の基底をなす。

   （証明終）

   座標ベクトルについて。

   $\begin{array}{l}{x}_1\left(1,-1,0\right)+x_2\left(1,0,1\right)+x_3\left(0,2,1\right)=\left(2,4,-1\right)\\ \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ -x_1+2x_3=4\\ x_2+x_3=-1\end{array}\\ x_2=2-x_1\\ x_3=-1-2+x_1=-3+x_1\\ -x_1-6+2x_1=4\\ x_1=10\\ x_2=-8\\ x_3=7\end{array}$

   よって、 求める座標ベクトルは（10，-8，7）。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, solve

print('1.')

a = Matrix([1, -1, 0])
b = Matrix([1, 0, 1])
c = Matrix([0, 2, 1])
abcs = [a, b, c]
c1, c2, c3 = symbols('c:3')
linear_combination = c1 * a + c2 * b + c3 * c


class Test(TestCase):
    def test_base(self):
        self.assertEqual(solve(linear_combination), {c1: 0, c2: 0, c3: 0})

    def test_coordinates(self):
        u = Matrix([2, 4, -1])
        self.assertEqual(solve(linear_combination - u),
                         {c1: 10, c2: -8, c3: 7})


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test_base (__main__.Test) ... ok
test_coordinates (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.020s

OK
%