数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間 - 実数上の複素数のベクトル空間、次元、基底、生成、一次独立

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   複素数の任意の元は

   $\begin{array}{l}z\in \text{ℂ}\\ z=a+bi\\ =1·a+bi\end{array}$

   と 表すことができる。

   よって、 複素数の集合は

   $\left\{1,i\right\}$

   によって生成される集合である。

   また、

   $c_{1}1+c_{2}i=0$

   ならば

   $c_1=c_2=0$

   よって、

   $\left\{1,i\right\}$

   は1次独立である。

   ゆえに、 複素数の集合は実数上のベクトル空間として2次元である。

   $\dim {\text{ℂ}}_{\text{ℝ}}=2$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, I

print('6.')


class TestComplexDim(TestCase):
    def test(self):
        z = symbols('z', imag=True)
        a, b = symbols('a, b', real=True)
        z0 = a + b * I
        self.assertEqual(len(solve(z - z0)), 1)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test (__main__.TestComplexDim) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.303s

OK
%