数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - ド・モアブルの公式と複素数のn乗根 - 1の虚数の立方根、累乗、自然数

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、ド・モアブルの公式と複素数のn乗根の問13の解答を求めてみる。

13. 
    

    n が3の倍数のとき。

    $n=3k$

    とおく。

    $\begin{array}{l}{\omega }^{2n}+{\omega }^n+1\\ ={\left({\omega }^3\right)}^{2k}+{\left({\omega }^3\right)}^k+1\\ =1+1+1\\ =3\end{array}$

    n が3の 倍数ではないとき。

    $\begin{array}{l}{\omega }^n\ne 1\\ {\omega }^{2n}+{\omega }^n+1\\ ={\left({\omega }^n\right)}^2+{\omega }^n+1\\ =\frac{\left({\omega }^n-1\right)\left({\left({\omega }^n\right)}^2+{\omega }^n+1\right)}{{\omega }^n-1}\\ =\frac{{\left({\omega }^n\right)}^3-1}{{\omega }^n-1}\\ =\frac{{\left({\omega }^3\right)}^n-1}{{\omega }^n-1}\\ =\frac{1-1}{{\omega }^n-1}\\ =0\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, I

print('13.')

w = symbols('w', imag=False)
ws = [z for z in solve(w ** 3 - 1) if z != 1]
n, k = symbols('n, k', integer=True)
fs = [(w ** (2 * n) + w ** n + 1).subs({w: w0}) for w0 in ws]


class MyTestCubic(TestCase):
    def test_0(self):
        for f in fs:
            self.assertEqual(f.subs({n: 3 * k}).simplify(), 3)

    def test_1(self):
        for f in fs:
            a, b = f.subs({n: 3 * k + 1}).as_real_imag()
            self.assertEqual(a.simplify(), 0)
            self.assertEqual(b.simplify(), 0)

    def test_2(self):
        for f in fs:
            a, b = f.subs({n: 3 * k + 2}).as_real_imag()
            self.assertEqual(a.simplify(), 0)
            self.assertEqual(b.simplify(), 0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample13.py -v
13.
test_0 (__main__.MyTestCubic) ... ok
test_1 (__main__.MyTestCubic) ... ok
test_2 (__main__.MyTestCubic) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.720s

OK
%