数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - ド・モアブルの公式と複素数のn乗根 - 1の虚数の立方根、累乗、自然数

学習環境

新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、ド・モアブルの公式と複素数のn乗根の問13の解答を求めてみる。

n が3の倍数のとき。

$n = 3 k$

とおく。

$\begin{array}{l} ω^{2 n} + ω^{n} + 1 \\ = {(ω^{3})}^{2 k} + {(ω^{3})}^{k} + 1 \\ = 1 + 1 + 1 \\ = 3 \end{array}$

n が3の倍数ではないとき。

$\begin{array}{l} ω^{n} \neq 1 \\ ω^{2 n} + ω^{n} + 1 \\ = {(ω^{n})}^{2} + ω^{n} + 1 \\ = \frac{(ω^{n} - 1) ({(ω^{n})}^{2} + ω^{n} + 1)}{ω^{n} - 1} \\ = \frac{{(ω^{n})}^{3} - 1}{ω^{n} - 1} \\ = \frac{{(ω^{3})}^{n} - 1}{ω^{n} - 1} \\ = \frac{1 - 1}{ω^{n} - 1} \\ = 0 \end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, I

print('13.')

w = symbols('w', imag=False)
ws = [z for z in solve(w ** 3 - 1) if z != 1]
n, k = symbols('n, k', integer=True)
fs = [(w ** (2 * n) + w ** n + 1).subs({w: w0}) for w0 in ws]


class MyTestCubic(TestCase):
    def test_0(self):
        for f in fs:
            self.assertEqual(f.subs({n: 3 * k}).simplify(), 3)

    def test_1(self):
        for f in fs:
            a, b = f.subs({n: 3 * k + 1}).as_real_imag()
            self.assertEqual(a.simplify(), 0)
            self.assertEqual(b.simplify(), 0)

    def test_2(self):
        for f in fs:
            a, b = f.subs({n: 3 * k + 2}).as_real_imag()
            self.assertEqual(a.simplify(), 0)
            self.assertEqual(b.simplify(), 0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample13.py -v
13.
test_0 (__main__.MyTestCubic) ... ok
test_1 (__main__.MyTestCubic) ... ok
test_2 (__main__.MyTestCubic) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.720s

OK
%

Kamimura's blog

2020年4月7日火曜日

数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - ド・モアブルの公式と複素数のn乗根 - 1の虚数の立方根、累乗、自然数

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