数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - ド・モアブルの公式と複素数のn乗根 - 1の累乗根(4乗根、6乗根)、極形式、三角関数(正弦と余弦)

新装版 数学読本3
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windowsアプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPadアプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門(楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、ド・モアブルの公式と複素数のn乗根の問11の解答を求めてみる。

11. 
    

    1を極形式で表す。

    $\begin{array}{l}1=\cos \left(2k\pi \right)+i\sin \left(2k\pi \right)\\ k\in \text{ℤ}\end{array}$

    1の n 乗根を

    $z=\cos \theta +i\sin \theta$

    とおく。

    $\begin{array}{l}{z}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta \\ \cos n\theta +i\sin n\theta =\cos 2k\pi +i\sin 2k\pi \\ n\theta =2k\pi \\ \theta =\frac{2k\pi }{n}\\ z=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\end{array}$

    よって、 1の4乗根は

    $\begin{array}{l}z\\ =\cos \frac{2k\pi }{4}+i\sin \frac{2k\pi }{4}\\ =\cos \frac{k\pi }{2}+i\sin \frac{k\pi }{2}\\ =\pm 1,\pm i\end{array}$

    1の6乗根は

    $\begin{array}{l}z\\ =\cos \frac{2k\pi }{6}+i\sin \frac{2k\pi }{6}\\ =\cos \frac{k\pi }{3}+i\sin \frac{k\pi }{3}\\ =\pm 1,\frac{\pm 1\pm \sqrt{3}i}{2}\end{array}$

    （複号任意）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, I, sqrt
print('11.')

a, b = symbols('a, b', real=True)
z = a + b * I


class MyTestCase(TestCase):
    def test_root4(self):
        for z in [-1, 1, -I, I]:
            self.assertEqual(z ** 4, 1)

    def test_root6(self):
        for z in [-1, 1,
                  (-1 - sqrt(3) * I) / 2, (-1 + sqrt(3) * I) / 2,
                  (1 - sqrt(3) * I) / 2, (1 + sqrt(3) * I) / 2]:
            try:
                self.assertEqual(z ** 6, 1)
            except:
                self.assertEqual((z ** 6).simplify(), 1)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample11.py -v 
11.
test_root4 (__main__.MyTestCase) ... ok
test_root6 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.258s

OK
%