数学 - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - 複素数の極形式 - 絶対値と偏角、商、差、共役複素数

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、複素数の極形式の問9の解答を求めてみる。

9. 
   
   1. 
      

      絶対値。

      $\begin{array}{l}\left|z+\frac{1}{\stackrel{-}{z}}\right|\\ =\left|\frac{z\stackrel{-}{z}+1}{\stackrel{-}{z}}\right|\\ =\left|\frac{{\left|z\right|}^2+1}{\stackrel{-}{z}}\right|\\ =\frac{\left|{\left|z\right|}^2+1\right|}{\left|\stackrel{-}{z}\right|}\\ =\frac{r^2+1}{\left|z\right|}\\ =\frac{r^2+1}{r}\\ =r+\frac{1}{r}\end{array}$

      偏角。

      $\begin{array}{l}\arg \left(z+\frac{1}{\stackrel{-}{z}}\right)\\ =\arg \left({\left|z\right|}^2+1\right)-\arg \stackrel{-}{z}\\ =\arg \left(r^2+1\right)+\arg z\\ =0+\theta \\ =\theta \end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}r+z\\ =r+r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\ =r\left(\left(1+\cos \theta \right)+i\sin \theta \right)\\ =r\left(1+\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\theta }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\theta }{2}\right)\right)\\ =r\left(1+{\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\right)\\ =r\left(2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\right)\\ =2r\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)\end{array}$

      よって、 問題の複素数の絶対値、偏角はそれぞれ

      $\begin{array}{l}\left|r+z\right|=2r\cos \frac{\theta }{2}\\ \arg \left(r+z\right)=\frac{\theta }{2}\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}r-z\\ =r-r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\ =r\left(1-\cos \theta -i\sin \theta \right)\\ =r\left(1-{\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}-2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\right)\\ =r\left(2{\sin }^2\frac{\theta }{2}-2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\right)\\ =2r\sin \frac{\theta }{2}\left(\sin \frac{\theta }{2}-i\cos \frac{\theta }{2}\right)\\ =2r\sin \frac{\theta }{2}\left(\cos \left(\frac{\theta }{2}-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\theta }{2}-\frac{\pi }{2}\right)\right)\\ \left|t-z\right|=2\sin \frac{\theta }{2}\\ \arg \left(r-z\right)=\frac{\theta }{2}-\frac{\pi }{2}\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\left|\frac{r-z}{r+z}\right|\\ =\frac{2r\sin \frac{\theta }{2}}{2r\cos \frac{\theta }{2}}\\ =\tan \frac{\theta }{2}\\ \arg \left(\frac{r-z}{r+z}\right)\\ =\arg \left(r-z\right)-\arg \left(r+z\right)\\ =\frac{\theta }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}\\ =-\frac{\pi }{2}\end{array}$