数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 可算集合、有限部分集合全体の集合、全射

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   n を任意の正の整数とする。

   このとき、 X は可算集合なので、

   $X^n$

   は可算集合である。

   また、 X の n 個 の 元の有限集合全体の集合を

   $A_n$

   とする。

   また、 写像 f を

   $\begin{array}{l}f:X^n\to A_n\\ f\left(x_1,\dots ,x_n\right)=\left\{x_1,\dots ,x_n\right\}\end{array}$

   とすると、 f は全射である。

   よって、

   $A_n$

   は可算集合である。

   ゆえに、

   $\Omega =U_{n=0}^{\infty }{A}_n$

   は可算集合である。

   （証明終）