数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 連続濃度を添字集合とする連続の濃度の部分集合族、可算集合の直和

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\mathrm{card}\left(\text{ℕ}\times I\right)$

    は連続の濃度、すなわち

    $\mathrm{card}\left(I\times \text{ℕ}\right)=\mathrm{card}X$

    である。

    なって全単射

    $\begin{array}{l}f:I\times \text{ℕ}\to X\\ f\left(i,n\right)=x\end{array}$

    が存在する。

    $\begin{array}{l}{X}_i=f\left(\left\{i\right\}\times \text{ℕ}\right)\\ i\in I\end{array}$

    とおくと、

    $\left\{i\right\}\times \text{ℕ}$

    は可算で、 f は全単射なので、

    $\begin{array}{l}{X}_i\\ i\in I\end{array}$

    も可算である。

    また、

    $U_{i\in I}{X}_i=X$

    で

    $\begin{array}{l}i,j\in I\\ i\ne j\end{array}$

    ならば

    $\left\{i\right\}\times \text{ℕ}\cap \left\{j\right\}\times \text{ℕ}=\varphi$

    f は全単射なので、

    $f\left(\left\{i\right\}\times \text{ℕ}\right)\cap f\left(\left\{j\right\}\times \text{ℕ}\right)=\varphi$

    よって、

    $X_i\cap X_j=\varphi$

    である。

    （証明終）