数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - 2つの全射の合成写像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    

    u を U の任意の元とする。

    B は全射なので、 ある W の元 w が存在して、

    $B\left(w\right)=u$

    また、 A は全射なので、 ある V の元 v が存在して

    $A\left(v\right)=w$

    よって、

    $\begin{array}{l}B\left(A\left(v\right)\right)=B\left(w\right)\\ BA\left(v\right)=u\end{array}$

    ゆえに、 BA は全射である。

    （証明終）