数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - ベクトル空間の間の同形写像、可逆、逆写像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}\left(\left(G\circ F\right)\circ \left(F^{-1}\circ G^{-1}\right)\right)\left(v\right)\\ =G\left(\left(F\circ \left(F^{-1}\circ G^{-1}\right)\right)\left(v\right)\right)\\ =G\left(\left(\left(F\circ F^{-1}\right)\circ G^{-1}\right)\left(v\right)\right)\\ =G\left(\left(F\circ F^{-1}\right)\left(G^{-1}\left(v\right)\right)\right)\\ =G\left(G^{-1}\left(v\right)\right)\\ =v\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{l}\left(\left(F^{-1}\circ G^{-1}\right)\circ \left(G\circ F\right)\right)\left(v\right)\\ =\left(F^{-1}\circ \left(G^{-1}\circ G\right)\circ F\right)\left(v\right)\\ =F^{-1}\left(\left(G^{-1}\circ G\right)\left(F\left(v\right)\right)\right)\\ =F^{-1}\left(F\left(v\right)\right)\\ =v\end{array}$

   よって、

   ${\left(G\circ F\right)}^{-1}=F^{-1}\circ G^{-1}$

   （証明終）