数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - 逆写像、恒等写像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}\left(A\circ \left(I-A\right)\right)\left(v\right)\\ =A\left(\left(I-A\right)\left(v\right)\right)\\ =A\left(I\left(v\right)-A\left(v\right)\right)\\ =A\left(v-A\left(v\right)\right)\\ =A\left(v\right)-A^2\left(v\right)\\ =-\left(A^2\left(v\right)-A\left(v\right)\right)\\ =-\left(-I\left(v\right)\right)\\ =v\\ \left(\left(I-A\right)\circ A\right)\left(v\right)\\ =\left(I-A\right)\left(A\left(v\right)\right)\\ =I\left(A\left(v\right)\right)-A^2\left(v\right)\\ =A\left(v\right)-A^2\left(v\right)\\ =I\left(v\right)\\ =v\end{array}$

   よって、問題の線形写像 A は逆写像が存在して、

   $A^{-1}=I-A$

   である。

   （証明終）