数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - 同次元の2つの有限次元ベクトル空間、基底、同形、全単射、同形写像、和とスカラー倍

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題6の解答を求めてみる。

V 、 W の基底をそれぞれ

$\begin{array}{l} \{v_{1}, \dots, v_{n}\} \\ \{w_{1}, \dots, w_{n}\} \end{array}$

とする。

V から W への写像 f を

$\begin{array}{l} f : V \to W \\ f (\sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} w_{k} \end{array}$

とする。

このとき、 V の任意の元

$\begin{array}{l} u = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k} \\ v = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} v_{k} \end{array}$

に対して

$f (u) = f (v)$

ならば、

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} f (v_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} f (v_{k}) \\ \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - b_{k}) f (v_{k}) = O \\ \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - b_{k}) w_{k} = O \\ k = 1, \dots, n \\ a_{k} - b_{k} = 0 \\ a_{k} = b_{k} \end{array}$

よって、

$u = w$

ゆえに f は単射である。

また、 w を W の任意の元とし、

$w = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} w_{k}$

とおくと、

$\begin{array}{l} f (\sum_{k = 1}^{n} c_{k} v_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} f (v_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} w_{k} \\ = w \end{array}$

よって f は全射である。

ゆえに、 f は全単射である。

また、

$\begin{array}{l} f (u + v) \\ = f (\sum_{k = 1}^{n} a_{k} u_{k} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k} v_{k}) \\ = f (\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + b_{k}) v_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + b_{k}) w_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} w_{k} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k} w_{k} \\ = f (u) + f (v) \\ f (c \sum_{k = 1}^{n} b_{k} v_{k}) \\ = f (\sum_{k = 1}^{n} c b_{k} v_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} c b_{k} w_{k} \\ = c \sum_{k = 1}^{n} b_{k} w_{k} \\ = c f (v) \end{array}$

よって、 f は線形写像である。

ゆえに、 f は同形写像なので、 U、 Vは同形である。

（証明終）

Kamimura's blog

2020年5月5日火曜日

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