数学 - Python - 代数学 - 連立方程式と高次方程式 - 1の虚立方根、2変数、3次式、差、展開

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(連立方程式と高次方程式) 、問12の解答を求めてみる。

12. 
    
    $\begin{array}{l}{x}^3-y^3\\ =\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\\ \left(x-\omega y\right)\left(x-{\omega }^{2}y\right)\\ =x^2-\left({\omega }^2+\omega \right)xy+{\omega }^3{y}^2\\ =x^2-\left({\omega }^2+\omega \right)xy+y^2\\ {\omega }^3-1=0\\ \left(\omega -1\right)\left({\omega }^2+\omega +1\right)=0\\ {\omega }^2+\omega +1=0\\ {\omega }^2+\omega =-1\\ \left(x-\omega y\right)\left(x-{\omega }^{2}y\right)=x^2+xy+y^2\end{array}$

    よって、

    $x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x-\omega y\right)\left(x-{\omega }^{2}y\right)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve

print('12.')

x, y = symbols('x, y')
omega = symbols('ω')


class TestExpand(TestCase):
    def test(self):
        omegas = [o for o in solve(omega ** 3 - 1) if not o.is_real]
        for o in omegas:
            self.assertEqual(
                x ** 3 - y ** 3,
                ((x - y) * (x - o * y) * (x - o ** 2 * y)).expand()
            )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample12.py -v
12.
test (__main__.TestExpand) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.096s

OK
%